對(duì)于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052209445829682376/SYS201205220947168125476025_ST.files/image001.png">的函數(shù),若有常數(shù)M,使得對(duì)任意的,存在唯一的滿(mǎn)足等式,則稱(chēng)M為函數(shù)f (x)的“均值”.

(1)判斷1是否為函數(shù)的“均值”,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)為常數(shù))存在“均值”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),且其值域?yàn)閰^(qū)間I.試探究函數(shù)的“均值”情況(是否存在、個(gè)數(shù)、大小等)與區(qū)間I之間的關(guān)系,寫(xiě)出你的結(jié)論(不必證明).

說(shuō)明:對(duì)于(3),將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評(píng)分

 

【答案】

解:(1)對(duì)任意的,有,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,     

故存在唯一,滿(mǎn)足,              ……………………2分

所以1是函數(shù)的“均值”.            ……………………4分

(另法:對(duì)任意的,有,令,

,且,      [來(lái)源:]

,且,則有,可得,

故存在唯一,滿(mǎn)足,              ……………………2分

所以1是函數(shù)的“均值”.            ……………………4分)

(2)當(dāng)時(shí),存在“均值”,且“均值”為;…………5分

當(dāng)時(shí),由存在均值,可知對(duì)任意的,

都有唯一的與之對(duì)應(yīng),從而有單調(diào),

故有,解得,         ……………………9分

綜上,a的取值范圍是.            ……………………10分

(另法:分四種情形進(jìn)行討論)

(3)①當(dāng)I 時(shí),函數(shù)存在唯一的“均值”.

這時(shí)函數(shù)的“均值”為;                       …………………12分

②當(dāng)I為時(shí),函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”.

這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”;              ……………………14分

③當(dāng)I 時(shí),

函數(shù)不存在“均值”.                  ……………………16分

[評(píng)分說(shuō)明:若三種情況討論完整且正確,但未用等價(jià)形式進(jìn)行敘述,至多得6分;若三種情況討論不完整,且未用等價(jià)形式敘述,至多得5分]

①當(dāng)且僅當(dāng)I形如其中之一時(shí),函數(shù)存在唯一的“均值”.

這時(shí)函數(shù)的“均值”為;                      ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時(shí),函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”.

這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”;              ……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I形如、、、、、其中之一時(shí),函數(shù)不存在“均值”.                    ……………………18分

(另法:①當(dāng)且僅當(dāng)I為開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間時(shí),函數(shù)存在唯一的“均值”.這時(shí)函數(shù)的均值為區(qū)間I兩端點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù);                     ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時(shí),函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”.這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”;                                       ……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I為除去開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間與之外的其它區(qū)間時(shí),函數(shù)不存在“均值”.                                              ……………………18分)

[評(píng)分說(shuō)明:在情形①與②中,等價(jià)關(guān)系敘述正確但未正確求出函數(shù)“均值”,各扣1分]

【解析】略

 

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