【題目】在中, , , , 是中點(diǎn)(如圖1).將沿折起到圖2中的位置,得到四棱錐.
(1)將沿折起的過(guò)程中, 平面是否成立?并證明你的結(jié)論;
(2)若與平面所成的角為60°,且為銳角三角形,求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(1)當(dāng)DP1⊥DA時(shí),CD⊥平面P1DA.由余弦定理得DC2=4,由勾股定理得DC⊥AD.即得到將△PCD沿CD折起的過(guò)程中,當(dāng)DP1⊥DA時(shí),CD⊥平面P1DA.(2)先證明在平面內(nèi)的射影必在棱上,再建系,得到兩個(gè)平面的法向量,得到兩個(gè)法向量的夾角進(jìn)而得到兩個(gè)面的夾角。
解析:
(1)將沿折起過(guò)程中, 平面成立,
證明:∵是中點(diǎn),∴,
在中,由余弦定理得,
.
∴,
∵,
∴為等腰直角三角形且,
∴, ,
∴平面.
(2)由(1)知平面, 平面,
∴平面平面,
∵為銳角三角形,∴在平面內(nèi)的射影必在棱上(如圖),
∴平面,
則是和平面所成的角,
故,
∵,
∴為等邊三角形, 為中點(diǎn),
故以為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸, 所在直線為軸, 所在直線為軸建立如圖所示坐標(biāo)系.
設(shè)軸于交于點(diǎn),
∵,∴ ,
易知,
∴,
則, , , ,
, , , ,
∵平面,
∴可取平面的法向量,
設(shè)平面的法向量,平面和平面所成的角為,
則,∴得
令,則,
從而.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式;
(3)若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為, .
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點(diǎn),使它到直線: (為參數(shù))的距離最短,寫(xiě)出點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),且是它的極值點(diǎn).
(1)求的值;
(2)求在上的最大值;
(3)設(shè),證明:對(duì)任意, 都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某化工廠為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率,需要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)收集了4組對(duì)照數(shù)據(jù)。
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷回收率與之間是否存在高度線性相關(guān)關(guān)系;
(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)回收率的值.
參考數(shù)據(jù):
1 | 0 | 其他 | |||
相關(guān)關(guān)系 | 完全相關(guān) | 不相關(guān) | 高度相關(guān) | 低度相關(guān) | 中度相關(guān) |
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某百貨商場(chǎng)舉行年終慶典,推出以下兩種優(yōu)惠方案:
方案一:?jiǎn)喂P消費(fèi)每滿200元立減50元,可累計(jì);
方案二:?jiǎn)喂P消費(fèi)滿200元可參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:從裝有6個(gè)小球(其中3個(gè)紅球3個(gè)白球,它們除顏色外完全相同)的盒子中隨機(jī)摸出3個(gè)小球,若摸到3個(gè)紅球則按原價(jià)的5折付款,若摸到2個(gè)紅球則按原價(jià)的7折付款,若摸到1個(gè)紅球則按原價(jià)的8折付款,若未摸到紅球按原價(jià)的9折付款。
單筆消費(fèi)不低于200元的顧客可從中任選一種優(yōu)惠方案。
(I)某顧客購(gòu)買(mǎi)一件300元的商品,若他選擇優(yōu)惠方案二,求該顧客最好終支付金額不超過(guò)250元的概率。
(II)若某顧客的購(gòu)物金額為210元,請(qǐng)用所學(xué)概率知識(shí)分析他選擇哪一種優(yōu)惠方案更劃算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若對(duì)任意,存在,使,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,離心率,過(guò)P分別作斜率為的直線PA,PB,交橢圓于點(diǎn)A,B。
(1)求橢圓的方程;
(2)若,則直線AB是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)?
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