Question

已知關(guān)于x的方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

(1)方程有兩個(gè)正根的充要條件;

(2)方程至少有一個(gè)正根的充要條件.

Answer 1

解析:先求出方程有兩個(gè)實(shí)根的充要條件,再討論x²的系數(shù)及運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出要求的充要條件.

解:(1)方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是

即即a≥10或a≤2且a≠1.

設(shè)此時(shí)方程的兩實(shí)根為x₁、x₂,有兩個(gè)正根的充要條件是

即1＜a≤2或a≥10是方程有兩個(gè)正根的充要條件.

(2)由(1)知當(dāng)1＜a≤2或a≥10時(shí)方程有兩個(gè)正根,當(dāng)a=1時(shí),方程化為3x-4=0,有一正根,又方程有一正根一負(fù)根的充要條件是a＜1,故方程至少有一個(gè)正根的充要條件是a≤2或a≥10.

啟示:處理充分、必要條件問(wèn)題時(shí),首先要分清條件與結(jié)論,要緊扣定義.