Question

凸四邊形PABQ中，其中A、B為定點(diǎn)，AB=

3

，P、Q為動(dòng)點(diǎn)，滿足AP=PQ=QB=1．
（1）寫出cosA與cosQ的關(guān)系式；
（2）設(shè)△APB和△PQB的面積分別為S和T，求s²+T²的最大值，以及此時(shí)凸四邊形PABQ的面積．

Answer 1

分析：（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出關(guān)系式表示出PB²，在三角形PQB中，利用余弦定理列出關(guān)系式表示出PB²，兩者相等變形即可得到結(jié)果；
（2）利用三角形面積公式分別表示出S與T，代入S²+T²中，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將第一問確定的關(guān)系式代入，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，以及此時(shí)凸四邊形PABQ的面積即可．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB²=PA²+AB²-2PA•AB•cosA=1+3-2

3

cosA=4-2

3

cosA，
在△PQB中，由余弦定理得：PB²=PQ²+QB²-2PQ•QB•cosQ=2-2cosQ，
∴4-2

3

cosA=2-2cosQ，即cosQ=

3

cosA-1；
（2）根據(jù)題意得：S=

1

2

PA•AB•sinA=

3

2

sinA，T=PQ•QB•sinQ=

1

2

sinQ，
∴S²+T²=

3

4

sin²A+

1

4

sin²Q=

3

4

（1-cos²A）+

1

4

（1-cos²Q）=-

3cos2A

2

+

3

2

cosA+

3

4

=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

，
當(dāng)cosA=

3

6

時(shí)，S²+T²有最大值

7

8

，此時(shí)S_{四邊形PABQ}=S+T=

11 + 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．