如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2
3
，∠ABC=
π
3
．
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．
（1）證明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=
1
2
⇒∠ACB=
π
6

∴AB⊥AC
以A為原點，分別以AB、AC、AA1為
x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則A（0，0，0）A1(0，0，2
3
)B（2，0，0）C(0，2
3
，0)
AB
=(2，0，0)
A1C
=(0，2
3
，-2
3
)
AB
•
A1C
=0⇒
AB
⊥
A1C

即AB⊥A1C．
（2）由（1）知
A1B
=(2，0，-2
3
)
設二面角A-A1C-B的平面角為α，cosα=cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
3
2×
5
=
15
5

∴sinα=
1-cos2α
=
10
5

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，己知平行四邊形1BCD中，∠B1D=6三°，1B=6，1D=3，G為CD中點，現(xiàn)將梯形1BCG沿著1G折起到1FoG．
（1）求證：直線Co∥平面1BF；
（2）如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為線段CD中點．
（1）求直線B1E與直線AD1所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-
A_
1的大�。�
（3）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的點，AB1∥平面BC1Q．
（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為
2
4
，求二面角Q-BC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中點，則異面直線C1E與BC所成的角的余弦值是（　�。�
A．
10
5
B．
10
10
C．
1
3
D．
2
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中點，則P到平面AMD1的距離為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于（　�。�
A．﹣B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知向量和的夾角為1200，，則（   ）.
A．B．C．4D．

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