解答:解:(1)f(x)=x
2-2tx+1的圖象是以直線x=t為對(duì)稱軸且開(kāi)口向上的拋物線,
所以當(dāng)t≤3時(shí),函數(shù)在[3,4]單調(diào)遞增,…(4分)
當(dāng)t≥4時(shí)函數(shù)在[3,4]單調(diào)遞減,…(6分)
所以若f(x)在區(qū)間[3,4]為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍t≤3或t≥4…(7分)
(2)當(dāng)t=1時(shí),
h(x)=f(x)+g(x)=x
2-2x+1+blnx的定義域?yàn)椋?,+∞)…(8分)
h′(x)=2x-2+
=
,…(9分)
令g(x)=2x
2-2x+b,x∈(0,+∞),
所以g(x)在(0,+∞)的符號(hào)與h′(x)在(0,+∞)的正負(fù)情況一致
①當(dāng)△=4-8b≤0時(shí),即b≥
時(shí),則g(x)=2x
2-2x+b≥0在(0,+∞)恒成立,所以h′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)…(10分)
②當(dāng)△=4-8b>0時(shí),即b<
時(shí),令方程g(x)=2x
2-2x+b=0的兩根為x
1,x
2,且x
1=
,x
2=
…(11分)
(i)當(dāng)x
1=
>0,即0<b<
時(shí),
不等式g(x)=2x
2-2x+b>0解集為(0,
)∪(
,+∞),
g(x)=2x
2-2x+b<0解集為(
,
),
所以h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,
),(
,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(
,
),…(12分)
(ii) 當(dāng)x
1=
≤0,即b≤0時(shí),
不等式g(x)=2x
2-2x+b>0解集為(
,+∞),
g(x)=2x
2-2x+b<0解集為(0,
),
所以h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(
,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(0,
),…(13分)
綜上所述:當(dāng)b≥
時(shí),函數(shù)h(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)
當(dāng)0<b<
時(shí),h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,
),(
,+∞);
單調(diào)減區(qū)間為(
,
)
當(dāng)b≤0時(shí),h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(
,+∞);
單調(diào)減區(qū)間為(0,
)…(14分)