Question

設(shè)函數(shù)f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞1)．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（Ⅱ）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求f（x）的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則

1+x

1-x

＞0，即（1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f(-x)=log?a

1-x

1+x

=log?a(

1+x

1-x

)-1=-log?a

1+x

1-x

，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）的是奇函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)u=

1+x

1-x

，則u=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，函數(shù)u為增函數(shù)，
∵a＞1，
∴y=log_au為增函數(shù)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（0）=log_a1=0，要使當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）≥m恒成立，
則m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)最值的關(guān)鍵．