Question

9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為$\frac{a^2}{3sinA}$．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，
（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可求出A=$\frac{π}{3}$，再根據(jù)正弦定理可得bc=8，根據(jù)余弦定理即可求出b+c，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）由三角形的面積公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{a^2}{3sinA}$，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=$\frac{2}{3}$；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=$\frac{1}{6}$，
∴cosBcosC-sinBsinC=$\frac{1}{6}$-$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴sinBsinC=$\frac{2R}$•$\frac{c}{2R}$=$\frac{bc}{（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{bc}{12}$=$\frac{2}{3}$，
∴bc=8，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，
∴（b+c）²=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=$\sqrt{33}$
∴周長(zhǎng)a+b+c=3+$\sqrt{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．