Question

(本小題滿分14分)

已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí)，

(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；

(2)證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；

(3)令,當(dāng)時(shí)，求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)

.

(2)證明：見解析；

(3)   

【解析】(1)解本小題的關(guān)鍵是確定當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1.

(2)本小題易采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.再由n=k+1時(shí)成立時(shí)，一定要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè)，否則證明無效.

(3)先由,再求出.

從而

然后再討論n是奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進(jìn)行證明.

解：(1)當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，從而

………………(3分)

.………………(5分)

(2)證明：①若0<a₁≤3,則題意成立…………………(6分)

②若a₁>3此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足a_n-a_n-1=3,即a_n=a₁-3(n-1).

設(shè),則當(dāng)n=k+1時(shí)，

從而此時(shí)命題成立……(8分)

③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁>3，則有②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立．

綜上所述，原命題成立……………(9分)

(3)當(dāng)2<a<3時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414563583998321/SYS201208241457134615605020_DA.files/image014.png">

所以  ……………(10分)

因?yàn)閎_n>0，所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．而

………………………………(12分)

①當(dāng)n=2k(k∈N^*且k≥2)時(shí)，

…（13分）

②當(dāng)n=2k-l(k∈N^*且k≥2)時(shí)，出于b_n>0，所以

綜上所述，原不等式成立………(14分)