Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

(n≥1)．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2（n≥2）
（2）設(shè)bn=

an+1-an

an

，證明數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn＜

7

4

（3）已知不等式ln（1+x）＜x對(duì)x＞0成立，證明：an＜2e

3

4

（n≥1）（其中無理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，關(guān)鍵驗(yàn)證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立；
（2）對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論；
（3）先證明n≥2時(shí)，lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，再累加，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）①當(dāng)n=2 時(shí)，a₂=2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k≥2，那么ak+1=(1+

1

k2+k

)ak+

1

2k

＞ak≥2．
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
根據(jù)①②可知：a_n≥2對(duì) n≥2成立．…（4分）
（2）∵

an+1

an

=1+

1

n2+n

+

1

2nan

，∴bn=

an+1-an

an

=

an+1

an

-1=

1

n2+n

+

1

2nan

當(dāng)n=1時(shí)，b1=

a2-a1

a1

=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥2，bn=

1

n2+n

+

1

2nan

≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

)+(

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)
=1+[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]+

1

4

[1-(

1

2

)n-1]＜1+

1

2

+

1

4

=

7

4

…（9分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，由（1）的結(jié)論知：an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

≤(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)an
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)+lnan＜lnan+

1

n2+n

+

1

2n+1

，
∴lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

（n≥2）
求和可得lnan-lna2＜

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n-1)

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=

1

2

-

1

n

+

1

22

-

1

2n

＜

3

4

而a₂=2，∴ln

an+1

2

＜

3

4

，∴an＜2e

3

4

（n≥2），而a1=1＜2e

3

4

故對(duì)任意的正整數(shù)n，有an＜2e

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，考查放縮法、累加法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．