若橢圓E1：
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1和橢圓E2：
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過(guò)（2，
6
)且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l分別于（I）中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在線段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
分析：（1）直接根據(jù)定義得到有
2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
解得a，b．即可得到與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓方程；
（2）先求出當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)求出結(jié)論；再對(duì)當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，聯(lián)立直線與兩個(gè)橢圓方程分別求出線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)與
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1，
有
a
2
=
b
2
22
a
2
 
+
(
6
)2
b
2
 
=1
⇒
a=4
b=2
2
．
所求方程是
x2
16
+
y2
8
=1．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)A(0，±
2
)，B(0，±2
2
)．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)P（0，y0），則y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（8分）
當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）則
y1=kx1
x
2
1
4
+
y
2
1
2
=1
得
x
2
1
=
4
1+2k2
y
2
1
=
4k2
1+2k2
，
∴|OA|=
2
1+k2
1+2k2
，
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
．…（10分）
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，|OA|•|OB|=
2
•2
2
=4，
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，|OA|•|OB|=
8(1+b2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2
，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
2
，離心率為e1=
2
2
，橢圓C2與C1有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C2與直線l：x-y+2=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求橢圓的離心率e2的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時(shí)，B恰好為線段AC的中點(diǎn)，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時(shí)，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點(diǎn)，直線AD的斜率為k2，當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時(shí)，試問(wèn)直線BD是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E1：
x2
10
+
2y2
5
=1 E2：
x2
a2
+
2y2
b2
=1(a＞b＞0)．E1與E2有相同的離心率，過(guò)點(diǎn)F（-
3
，0）的直線l與E1，E2依次交于A，C，D，B四點(diǎn)（如圖）．當(dāng)直線l過(guò)E2的上頂點(diǎn)時(shí)，直線l的傾斜角為
π
6
．
（1）求橢圓E2的方程；
（2）求證：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過(guò)圓E2上的一點(diǎn)P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
2
，離心率為e1=
2
2
，橢圓C2與C1有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C2與直線l：x-y+2=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求橢圓的離心率e2的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案