Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（3）將{b_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和G_n．

Answer 1

分析：（1）等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，求出公比q=2，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由a_n=2ⁿ和a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，知b₃=8，b₅=32，由此求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出b_n和S_n．
（3）由{b_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，知c_n=12•2ⁿ-28．由此能求出G_n．

解答：解：（1）等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
設(shè){a_n}的公比為q，則a4=a1q3=2q³=16，解得q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵a_n=2ⁿ，∴a₃=8，a₅=32，
∵a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，
∴b₃=8，b₅=32，
∴

b1+2d=8 b1+4d=32

，解得

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
S_n=

n(-16+12n-28)

2

=6n²-22n．
（3）∵{b_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，
∴c_n=12•2ⁿ-28．
∴G_n=12（2+2²+2³+…+2ⁿ）-28n=24（2ⁿ-1）-28n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．