Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，試比較與的大��；

（3）求證：（）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

， 令，得_或． …2分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

　 函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ……………4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………5分

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?sub>．

　　 令，

　　　 ，

　　　 在上是增函數(shù)．　　　　　　 …………………………………7分

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即． …………………………………9分

（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，　 ． ……………12分

．　　　　　　　 ……………………………………14分

(法二)當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．　 ………………………………10分

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

時(shí)，．

根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．　　　　　　　　 ………………………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

． ………………………………12分

，

又，，

．

．　　　　　　　 …………………………………14分

【說(shuō)明】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)．