Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x．
（1）若將函數(shù)f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{3}$個單位長度得函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x+m在[-2，4]上有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知h′（1）為切線的斜率，再求出切點坐標即可得出切線方程；
（2）判斷g（x）在[-2，4]上的單調(diào)性得出g（x）在[-2，4]上的最值，令$\left\{\begin{array}{l}{{g（x）}_{max}≥0}\\{{g（x）}_{min}≤0}\end{array}\right.$即可求出m的范圍．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$x³-2x-$\frac{1}{3}$，
∴h′（x）=x²-2，
∴切線的斜率k=h′（1）=-1，又h（1）=-2，
∴h（x）的圖象在x=1處的切線方程為y+2=-（x-1），即x+y+1=0．
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+m，∴g′（x）=x²-2x-3，
令g′（x）=0得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3．
∴當x＜-1或x＞3時，g′（x）＞0，當-1＜x＜3時，g′（x）＜0．
∴g（x）在[-2，-1]上為增函數(shù)，在[-1，3]上為減函數(shù)，在[3，4]上為增函數(shù)．
∵g（-2）=-$\frac{2}{3}$+m，g（-1）=$\frac{5}{3}$+m，g（3）=-9+m，g（4）=-$\frac{20}{3}$+m，
∴g（x）在[-2，4]上的最大值為為$\frac{5}{3}$+m，最小值為-9+m，
∵函數(shù)g（x）在[-2，4]上有零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}+m≥0}\\{-9+m≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{5}{3}$≤m≤9．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．