Question

（理）若函數(shù)f（x）在給定區(qū)間M上存在正數(shù)t，使得對任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t級類增函數(shù)．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=3^x是 R上的1級類增函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數(shù)，則實數(shù)a的最小值為2；
③若函數(shù)f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x；
②函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞]上的

π

3

級類增函數(shù)，故運用參數(shù)分離，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
③由f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，能導(dǎo)出實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=3^x，
∴f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x，
∴3^x≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴①正確；
對于②，f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞]上的

π

3

級類增函數(shù)，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
即sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，
當x=

π

2

時，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，
∴則實數(shù)a的最小值為

3

2π

，
∴②不正確；
對于③，
∵f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，
由于x∈[1，+∞），則3-2x≤1，
故實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞），
∴③正確．
故正確命題的個數(shù)為2個，
故選：C

點評：本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．