Question

已知拋物線C：y²=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（Ⅱ）若存在直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知M的坐標和直線l的方程，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立消去y，設A，B兩點坐標AB中點P的坐標，通過解一元二次方程求得A，B的坐標，則中點P的坐標可得，進而利用圓的定義求得以AB為直徑的圓的方程．
（Ⅱ）設A，B兩點坐標，則可表示出

AM

和

MB

，利用

MB

=λ

AM

求得λ與A，B坐標的關系式，把點A，B代入拋物線方程，聯(lián)立求得λx₁=m．要使此直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列，需要|OM|²=|MB|•|AM|，進而求得關于x₁的一元二次方程，進而根據(jù)兩根之積為m²＞0，判斷出只可能有兩個正根，建立不等式組求得m的范圍．

解答：（Ⅰ）解：由題意，得M（1，0），直線l的方程為y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
設A，B兩點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P的坐標為P（x₀，y₀），
則x1=3+2

2

， x2=3-2

2

， y1=x1-1=2+2

2

， y2=x2-1=2-2

2

，
故點A(3+2

2

，2+2

2

)， B(3-2

2

，2-2

2

)， 
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，
故圓心為P（3，2），直徑|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=8，
所以以AB為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=16；
（Ⅱ）解：設A，B兩點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

MB

=λ

AM

(λ＞0)．
則

AM

=(m-x1，-y1)， 

MB

=(x2-m，y2)，
所以

x2-m=λ(m-x1) y2=-λy1

①
因為點A，B在拋物線C上，
所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，②
由①②消去x₂，y₁，y₂得λx₁=m．
若此直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列，則|OM|²=|MB|•|AM|，
即|OM|²=λ|AM|•|AM|，所以m²=λ[（x₁-m）²+y₁²]，
因為y₁²=4x₁，λx₁=m，所以m2=

m

x1

[(x1-m)2+4

x

1

]，
整理得x₁²-（3m-4）x₁+m²=0，③
因為存在直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列，
所以關于x₁的方程③有正根，
因為方程③的兩根之積為m²＞0，所以只可能有兩個正根，
所以

3m-4＞0 m2＞0 △=(3m-4)2-4m2≥0

，解得m≥4．
故當m≥4時，存在直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數(shù)、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數(shù)的關系及判別式解決問題；二是運用數(shù)形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系．