Question

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）過(guò)點(diǎn)A（-1，-2）且與橢圓

x2

6

+

y2

9

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)相同；
（2）過(guò)點(diǎn)P(

3

，-2），Q(-2

3

，1）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)橢圓

x2

6

+

y2

9

=1得到它的焦點(diǎn)為（0，±

3

），再設(shè)所求的橢圓方程為：

y2

m

+

x2

m-3

=1，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解出m的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的方程為：

x2

p

+

y2

q

=1，p、q為不相等的正數(shù)，將P、Q的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于p、q的方程組并解之，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

6

+

y2

9

=1中，a²=9，b²=6
∴c²=a²-b²=3，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±

3

）
故設(shè)所求的橢圓方程為：

y2

m

+

x2

m-3

=1，（m＞3）
∴

(-2)2

m

+

(-1)2

m-3

=1，解之得m=6（m=2不合題意，舍去）
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

6

+

x2

3

=1；
（2）設(shè)橢圓的方程為：

x2

p

+

y2

q

=1，p、q均為正數(shù)且不相等
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

3

，-2），Q(-2

3

，1）
∴

( 3 )2 p + (-2)2 q =1 (-2 3 )2 p + 12 q =1

，解之得p=15，q=5
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

15

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題在已知橢圓上兩點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，屬于基礎(chǔ)題．