Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設(shè)該容器的建造費用為千元．

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；

（2）求該容器的建造費用最小時的．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）當時，建造費用最小時；當時，建造費用最小時

【解析】

試題分析：（I）設(shè)容器的容積為，由題意知，又，

故，由于，因此

所以建造費用

（II）由（I）得

由于，所以，令，得

（1）當即時，

所以是函數(shù)的極小值點，也是最小值點．

（2）當即時，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以是函數(shù)的最小值點，

綜上所述，當時，建造費用最小時；當時，建造費用最小時

考點：本題主要考查函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值。

點評：典型題，這是山東考題，意在考查函數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。從解題方法看，確定好函數(shù)解析式，主要運用幾何體體積公式，而求最值，主要運用導(dǎo)數(shù)知識，由于要進行分類討論，所以，不少考生在此失分。