Question

橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)、.記其上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.
（1）求圓心在線段上，且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點(diǎn)的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點(diǎn)，使的面積最大.

Answer 1

（1）圓的方程為；
（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積最大.

試題分析：（1）先將橢圓的方程為，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程，并求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓與坐標(biāo)軸相切于焦點(diǎn)，且圓心在線段上，從而求出圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑，進(jìn)而求出圓的方程；（2）法一是根據(jù)參數(shù)方程法假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算出點(diǎn)到線段的距離和線段的長度，然后以為底邊，為的高計(jì)算的面積的代數(shù)式，并根據(jù)代數(shù)式求出的面積的最大值并確定點(diǎn)的坐標(biāo)；法二是利用的面積取最大值時，點(diǎn)處的切線與線段平行，將切線與橢圓的方程聯(lián)立，利用確定切線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，則有，解得，
故橢圓的方程為，故上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，
則線段的方程為，即，
由于圓與坐標(biāo)軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn)，則圓心在直線上，此時直線與線段無交點(diǎn)，
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn)，則圓心在直線上，聯(lián)立，解得，
即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為，
故圓的方程為；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，
點(diǎn)到線段的距離 
，
，則，故，故，
，而，
則，
故當(dāng)時，即當(dāng)時，的面積取到最大值為，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
法二：設(shè)與平行的直線為，
當(dāng)此直線與橢圓相切于第一象限時，切點(diǎn)即所求點(diǎn)，
由得：①
令①中，有：，
又直線過第一象限，故，解得，
此時由①有，
代入橢圓方程，取，解得.故.