Question

12．2015年，中國(guó)社科院發(fā)布《中國(guó)城市競(jìng)爭(zhēng)力報(bào)告》，公布了中國(guó)十佳宜居城市和十佳最美麗城市，如表：

中國(guó)十佳宜居城市			中國(guó)十佳最美麗城市
排名	城市	得分	排名	城市	得分
1	深圳	90.2	1	杭州	93.7
2	珠海	89.8	2	拉薩	93.5
3	煙臺(tái)	88.3	3	深圳	93.3
4	惠州	86.5	4	青島	92.2
5	信陽(yáng)	83.1	5	大連	92.0
6	廈門(mén)	81.4	6	銀川	91.9
7	金華	79.2	7	惠州	90.6
8	柳州	77.8	8	哈爾濱	90.3
9	揚(yáng)州	75.9	9	信陽(yáng)	89.3
10	九江	74.6	10	煙臺(tái)	88.8

（I）記“中國(guó)十佳宜居城市”和“中國(guó)十佳最美麗城市”得分的平均數(shù)分別為$\overline{{x}_{1}}$與$\overline{{x}_{2}}$，方差分別為S₁²，S₂²，試比較$\overline{{x}_{1}}$與$\overline{{x}_{2}}$，S₁²，S₂²的大小；（只需要寫(xiě)出結(jié)論）
（Ⅱ）某人計(jì)劃從“中國(guó)十佳最美麗城市”中隨機(jī)選取3個(gè)游覽，求選到的城市至多有一個(gè)是“中國(guó)十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）旅游部門(mén)從“中國(guó)十佳宜居城市”和“中國(guó)十佳最美麗城市”中各隨機(jī)選取1個(gè)進(jìn)行調(diào)研，用X表示選到的城市既是“中國(guó)十佳宜居城市”又是“中國(guó)十佳最美麗城市”的個(gè)數(shù)（注：同一城市不重復(fù)計(jì)數(shù)），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用表格能比較$\overline{{x}_{1}}$與$\overline{{x}_{2}}$，S₁²，S₂²的大�。�
（Ⅱ）記選到的城市至多是一個(gè)“中國(guó)十佳宜居城市”為事件A，由已知既是“中國(guó)十佳宜居城市”又是“中國(guó)十佳最美麗城市”的城市有4個(gè)，由此能求出選到的城市至多有一個(gè)是“中國(guó)十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意$\overline{{x}_{1}}$＜$\overline{{x}_{2}}$，${{S}_{1}}^{2}$＞${{S}_{2}}^{2}$．
（Ⅱ）記選到的城市至多是一個(gè)“中國(guó)十佳宜居城市”為事件A，
由已知既是“中國(guó)十佳宜居城市”又是“中國(guó)十佳最美麗城市”的城市有4個(gè)：
深圳，惠州，信陽(yáng)，煙臺(tái)，
∴選到的城市至多有一個(gè)是“中國(guó)十佳宜居城市”的概率P（A）=$\frac{{C}_{6}^{3}+{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{36}{100}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{52}{100}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{12}{100}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{36}{100}$	$\frac{52}{100}$	$\frac{12}{100}$

∴EX=$0×\frac{36}{100}+1×\frac{52}{100}+2×\frac{12}{100}$=$\frac{19}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均值、方差的大小的比較，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．