已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,點(diǎn)A、F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若P(-1,
3
),PA是⊙O的切線,求橢圓C的方程;
(2)若
PA
PF
是一個(gè)常數(shù),求橢圓C的離心率;
(3)當(dāng)b=1時(shí),過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓C于D、E兩點(diǎn),其中點(diǎn)D在第一象限,它在x軸上的射影為點(diǎn)G,直線EG交橢圓C于另一點(diǎn)H,是否存實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意的k>0,都有DE⊥DH?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)利用點(diǎn)P(-1,
3
)在圓上,可得b的值,根據(jù)PA是⊙O的切線,可求a的值,從而可得橢圓C的方程;
(2)利用
PA
PF
是一個(gè)常數(shù),可得當(dāng)點(diǎn)P分別在(±b,0)時(shí)比值相等,即
a-b
b-c
=
a+b
b+c
,由此可求橢圓的離心率;
(3)如若存在,設(shè)橢圓方程,將D,H坐標(biāo)代入,利用點(diǎn)差法,結(jié)合E、G、H三點(diǎn)共線,即kEH=kEG,利用DE⊥DH,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)∵點(diǎn)P(-1,
3
)在圓上,∴b2=4
又∵PA是⊙O的切線,∴△OPA為直角三角形,∠POA=60°
∴OA=2OP=2b=4,∴a=4
∴橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
4
=1.…(4分)
(2)∵
PA
PF
是一個(gè)常數(shù),∴當(dāng)點(diǎn)P分別在(±b,0)時(shí)比值相等,即
a-b
b-c
=
a+b
b+c
,整理可得,b2=ac,
又∵b2=a2-c2,∴a2-c2-ac=0,
同除以a2可得e2+e-1=0,解得離心率e=
5
-1
2
.…(8分)
(3)如若存在,∵b=1,∴設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+y2=1
設(shè)y1∈(0,1),D(x1,y1),H(x2,y2),E(-x1,-y1),G(x1,0)
∵D、H都在橢圓C上,∴
x12
a2
+y12=1
x12
a2
+y22=1
,兩式相減得 (x12-x22)+a2(y12-y22)=0
由題意可得,D、H在第一象限,且不重合,故(x1-x2)(x1+x2)≠0
y1-y2
x1-x2
y1+y2
x1+x2
=-
1
a2
 (*)
而又因?yàn)镋、G、H三點(diǎn)共線,故kEH=kEG,即
y1+y2
x1+x2
=
0-(-y1)
x1-(-x1)
=
y1
2x1
,代入(*)式
可得
y1-y2
x1-x2
y1
2x1
=-
1
a2

而DE⊥DH,即為
y1
x1
y1-y2
x1-x2
=-1,因此,-
1
2
=-
1
a2
,即a2=2,a=
2

從而存在橢圓
x2
2
+y2=1滿足題意.…(18分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的離心率,考查存在性問(wèn)題的探究,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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