Question

設函數(shù)f(x)=log

1

2

x，給出下列四個命題：
①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1；
③函數(shù)f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數(shù)；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
則正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由題設條件函數(shù)f(x)=log

1

2

x，根據(jù)對數(shù)的函數(shù)的性質對四個命題進行判斷，得出正誤
①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義進行判斷正誤；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1，由對數(shù)的性質進行推斷即可判斷此命題的正誤；
③函數(shù)f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性易判斷；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|，對兩個數(shù)作差比較出它們的大小，得出正誤；

解答：解：∵f(x)=log

1

2

x
∴①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)，此命題正確，因為f(-x)=log

1

2

|-x|=log

1

2

|x|=f(x)此函數(shù)是一個偶函數(shù)，命題是正確命題；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1，此命題是正確命題，因為|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即log

1

2

a+log

1

2

b=0，故有ab=1；
③函數(shù)f（-x²+2x）的定義域是（0，2），故復合函數(shù)f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數(shù)錯；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命題，因為由題意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，則f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a²）＞0，即1-a²∈（0，1）顯然成立；
綜上①②④都是正確命題
故答案為①②④

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的綜合，解題的關鍵是熟練掌握對數(shù)的運算性質及函數(shù)奇偶性與單調性的性質，以及復合函數(shù)的單調性的判斷方法，解答本題時命題②④的判斷是一個難點，需要轉化后再用對數(shù)的運算性質變形，方能判斷出命題的真假．解題的時要注意依據(jù)題意合理轉化