Question

已知復(fù)數(shù)z₁=i（1-i）³．
（1）求argz₁及|z₁|；
（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，求|z-z₁|的最大值．

Answer 1

分析：（1）化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式后，再化為三角形式，即可求解．
（2）z 設(shè)為三角形式，和復(fù)數(shù)z₁的代數(shù)形式，共同代入|z-z₁|，化簡后可求最大值．

解答：解：（1）z₁=i（1-i）³=2-2i，
將z₁化為三角形式，得z1=2

2

(cos

7π

4

+isin

7π

4

)，
∴argz1=

7π

4

，|z1|=2

2

．
（2）設(shè)z=cosα+isinα，
則z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4

2

sin（α-

π

4

），
當(dāng)sin（α-

π

4

）=1時，|z-z₁|²取得最大值9+4

2

．
從而得到|z-z₁|的最大值為2

2

+1．

點評：本題考查復(fù)數(shù)基本性質(zhì)和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力．