Question

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）。
（Ⅰ）求證：與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)與的夾角取何值時(shí)，有最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的一條直徑，P為圓上一點(diǎn)，
∴AP⊥BP，即⊥，
∴·=0，
∵P為MN中點(diǎn)，||=20，
∴=，||=||=10，
∴=（+）·（+）
=（-）·（+）
=·+·-·-²
=（-）-100
=·-100=·-100，
∴僅與與的夾角有關(guān)，而與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)。
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
=100cos-100（0°≤≤180°），
∴當(dāng)=0°時(shí)，取最大值0。