Question

已知f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，(a∈R)．
（1）當(dāng)|a|≤

1

2

時(shí)，求證：f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)；
（2）若y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)|a|≤

1

2

的范圍得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)圖象開(kāi)口向上，所以導(dǎo)函數(shù)小于0，得到函數(shù)為減函數(shù)；
（2）設(shè)極值點(diǎn)為x₀∈（-1，1），則f′（x₀）=0，當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）在（-1，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（x₀，1）內(nèi)是減函數(shù)．根據(jù)極值點(diǎn)的存在與否得到a的范圍即可．

解答：解：（1）證明：∵f（x）=

2

3

x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤

1

2

，∴

f′(-1)=2(a- 1 2 )≤0 f′(1)=-2(a+ 1 2 )≤0.

又∵二次函數(shù)f′（x）的圖象開(kāi)口向上，?
∴在（-1，1）內(nèi)f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）設(shè)極值點(diǎn)為x₀∈（-1，1），則f′（x₀）=0，?
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，∵

f′(-1)=2(a- 1 2 )＞0 f′(1)=-2(a+ 1 2 )＜0.

?
∴在（-1，x₀）內(nèi)f′（x）＞0，在（x₀，1）內(nèi)f′（x）＜0，?
即f（x）在（-1，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（x₀，1）內(nèi)是減函數(shù)．?
∴當(dāng)a＞

1

2

時(shí)f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn)．?
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，同理可知f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)．
當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，由（1）知f（x）在（-1，1）內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．
故所求a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．