Question

2條直線將一個(gè)平面最多分成4部分，3條直線將一個(gè)平面最多分成7部分，4條直線將一個(gè)平面最多分成11部分，…；4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，7=C₃⁰+C₃¹+C₃²，11=C₄⁰+C₄¹+C₄²；…．
（1）n條直線將一個(gè)平面最多分成多少個(gè)部分（n＞1）？證明你的結(jié)論；
（2）n個(gè)平面最多將空間分割成多少個(gè)部分（n＞2）？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,組合及組合數(shù)公式

專題：綜合題

分析：（1）n條直線將一個(gè)平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個(gè)部分（n＞1）．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：①2條直線將一個(gè)平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，結(jié)論成立．②假設(shè)k條直線把一個(gè)平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²個(gè)部分（k＞1），則k+1條直線把一個(gè)平面最多分成：C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）=1+k+

k(k-1)

2

+(k+1)=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，結(jié)論也成立，由①②知，n條直線將一個(gè)平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個(gè)部分（n＞1）．
（2）n個(gè)平面最多將空間分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³個(gè)部分（n＞2）．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)n個(gè)r-1維空間可將r維空間最多分成S（n，r）個(gè)部分，則只需證明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，在這里，我們對(duì)r和n用雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法能夠得到結(jié)論．

解答： 解：（1）n條直線將一個(gè)平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個(gè)部分（n＞1）．
證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①2條直線將一個(gè)平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，結(jié)論成立．
②假設(shè)k條直線把一個(gè)平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²個(gè)部分（k＞1），
則k+1條直線把一個(gè)平面最多分成：
C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）
=1+k+

k(k-1)

2

+(k+1)
=1+（k+1）+

2k+k2-k

2

=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，
結(jié)論也成立，
由①②知，n條直線將一個(gè)平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個(gè)部分（n＞1）．
（2）n個(gè)平面最多將空間分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³個(gè)部分（n＞2）．
證明：設(shè)n個(gè)r-1維空間可將r維空間最多分成S（n，r）個(gè)部分，
則只需證明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，這里n∈N*，r∈{1，2，3}，且若i＞n，i∈N^*，定義C_nⁱ=0．
在這里，我們對(duì)r和n用雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法：
當(dāng)r=1時(shí)，n個(gè)點(diǎn)把直線分成1+n個(gè)部分，
所以，S（n，1）=1+n=C_n⁰+C_n¹，結(jié)論成立．
假設(shè)當(dāng)r=k時(shí)，S（n，k）=C_n⁰+C_n¹+…C_n^k，
則當(dāng)r=k+1時(shí)，
易知S（1，k+1）=2，
又假設(shè)當(dāng)n=j時(shí)，S（j，k+1）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1，
則當(dāng)n=j+1時(shí)，第j+1個(gè)k維，
空間必與前面的j個(gè)k維空間產(chǎn)生j個(gè)k-1維空間的交集，
而由假設(shè)知，這j個(gè)k-1維空間把第j+1個(gè)k維空間最多分成S（j，k）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k個(gè)部分，
且每一部分將原有的k+1維空間分成兩個(gè)部分，
所以S（j+1，k+1）=S（j，k+1）+S（j，k）
=（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1）+（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k）
=C_j+1⁰+（C_j¹+C_j⁰）+（C_j²+C_j¹）+…+（C_j^k+1+C_j^k）
=C_j+1⁰+C_j+1¹+…+C_j+1^k+1．
因此，當(dāng)r=k+1時(shí)，對(duì)n∈N^*，結(jié)論成立．
由數(shù)學(xué)歸納法原理可知，對(duì)n∈N*，r∈{1，2，3}，結(jié)論得到了證明．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意組合數(shù)公式和數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用．