Question

設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實數(shù)）．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a，b的值；
（2）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，得到f（0）=0，從而建立方程可解a，b．
（2）利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，和函數(shù)y=c²-3c+3最小值之間的關(guān)系，進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

-1+a

2+b

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+b

，
∵f（1）=-f（-1），
∴

1-2

4+b

=-

1- 1 2

1+b

，
∴b=2．
（2）f（x）=

1-2x

2x+1+2

=

1

2

•

1-2x

1+2x

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
從而-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
而c²-3c+3=（c-

3

2

）²+

3

4

≥

3

4

對任何實數(shù)c成立，
∴對任何實數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力．