Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為菱形，AMND是矩形，平面AMND⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1．
（Ⅰ）已知在AB邊上存在點E，使AN∥平面MEC，請說出點E的位置并加以證明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角B-CM-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)E為AB的中點時，AN∥平面MEC．連結(jié)BN，設(shè)CM∩BN=F，連結(jié)EF，由已知得四邊形BCNM為平行四邊形，由此能證明AN∥平面MEC．
（Ⅱ）以O(shè)A，OB為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-CM-E的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)E為AB的中點時，AN∥平面MEC．
證明如下：
連結(jié)BN，設(shè)CM∩BN=F，連結(jié)EF，
∵四邊形ABCD為菱形，AMND是矩形，∴MN∥AD∥BC，MN=AD=BC，
∴四邊形BCNM為平行四邊形，∴F為BN的中點，
又E為AB中點，∴AN∥EF，
∵EF?平面MEC，AN?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（Ⅱ）∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD為等邊三角形，取AD中點O，連結(jié)BO，則BO⊥AD，
∵平面AMND⊥平面ABCD，交線為AD，∴BO⊥平面AMND，
以O(shè)A，OB為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
在菱形ABCD與矩形AMND中，AD=2，AM=1，
∴A（1，0，0），M（1，0，1），C（-2，

3

，0），
由（Ⅰ）知E是AB中點，E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

MC

=（-3，

3

，-1），

BC

=（-2，0，0），

EC

=（-

5

2

，

3

2

，0），
設(shè)平面BCM的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • MC =-3x+ 3 y-z=0 n • BC =-2x=0

，取y=1，得

n

=（0，1，

3

），
設(shè)平面ECM的一個法向量

m

=（a，b，c），
則

m • MC =-3a+ 3 b-c=0 m • EC =- 5 2 a+ 3 2 b=0

，
取a=

3

，得

m

=（

3

，5，2

3

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

5+6

2 3+25+12

=

11 10

40

，
設(shè)二面角B-CM-E的平面角為θ，則cosθ=

11 10

40

，
∴二面角B-CM-E的余弦值為

11 10

40

．

點評：本題考查使直線與平面平行的點的位置的確定與證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．