Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.

（I）若，，，求方程在區(qū)間內的解集；

（II）若點是曲線上的動點.當時，設函數(shù)的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（III）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質取決于變量、和的值. 當時，試寫出一個條件，使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.【說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.】

 

Answer 1

【答案】

（I）在內的解集為

（II）的最大值. 

（III）使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”.

【解析】解：（I）由題意，…………………………1分

當，，時，，…2分

，則有或，.

即或，.                         ……………4分

又因為，故在內的解集為.……5分

（II）由題意，是曲線上的動點，故.    ……………6分

因此，，

     所以，的值域.   ……………8分

又的解為0和，故要使恒成立，只需

，而，

即，所以的最大值.              …………………10分

 

（III）解：因為，

設周期.

由于函數(shù)須滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.

因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征可知，

，.

又因為，形如的函數(shù)的圖像的對稱中心都是的零點，故需滿足，而當，時，

因為，；所以當且僅當，時，的圖像關于點對稱；此時，，.

（i）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

（ii）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

綜上，使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”.               ……………………………………………………14分

（第III小題將根據(jù)學生對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分）