Question

設(shè)向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ為銳角（1）若a·b=,求sinθ+cosθ的值；（2）若a//b,求sin(2θ+)的值．

Answer 1

(1）   （2）

試題分析：(1）由已知及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，從而應(yīng)用平方關(guān)系就可求得(sinθ＋cosθ)²的值，再注意到θ為銳角，知sinθ＋cosθ＞０，開(kāi)方即得所求式子的值；（2）由向量平行的坐標(biāo)條件：可得的值，法一：由（萬(wàn)能公式）得到的值，同理可得的值；再利用正弦和角公式將sin(2θ+)展開(kāi)即可求得其值；法二：也可由的值，應(yīng)用三角函數(shù)的定義求得的值，進(jìn)而用倍角公式可求得和的值，下同法一．
試題解析：(1） 因?yàn)閍·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．
所以 (sinθ＋cosθ)²＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因?yàn)棣葹殇J角，所以sinθ＋cosθ＝．
（2） 解法一 因?yàn)閍∥b，所以tanθ＝2．
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ­＝＝＝，
cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝＝＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．
解法二 因?yàn)閍∥b，所以tanθ＝2．所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．