已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，判斷和的大小，并說明理由；

(3)求證：當時，關于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解．

 

【答案】

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當時，．

（3）構造函數(shù)，然后借助于在區(qū)間、分別存在零點，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知最多在兩個零點，進而得到結論。

【解析】

試題分析：（1）

當時可解得，或

當時可解得

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

單調(diào)遞減區(qū)間為                         3分

（2）當時，因為在單調(diào)遞增，所以

當時，因為在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當時，．

綜上可知：當時，．　                  7分

（3）即

考慮函數(shù)，

，，

所以在區(qū)間、分別存在零點，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個零點，所以關于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解                                  10分

考點：導數(shù)的運用

點評：考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，以及利用函數(shù)與方程的思想的綜合運用，屬于難度題。

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．(1) 求函數(shù)的最小正周期，并寫出函數(shù)圖象的對稱軸方程；(2) 若，求函數(shù)的值域．

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已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若,在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆浙江省寧波市高一下學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當時，求函數(shù)的最值及相應的.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山東省濟寧市高二5月質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，判斷和的大小，并說明理由；

(3)求證：當時，關于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省汕頭市高三畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測文科數(shù)學（含解析） 題型：解答題

(本題滿分14分)

    已知函數(shù)，

    (1)求的最小值；

(2)若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.

 

 

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