Question

幾位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）時(shí)，給出了下面幾個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立，
上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)．

Answer 1

①|(zhì)x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），①正確；
②函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

是一個(gè)奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判斷知函數(shù)在（0，+∞）上是一個(gè)增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一個(gè)增函數(shù)，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），此命題正確；
③由②已證，故此命題正確；
④當(dāng)n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，假設(shè)n=k時(shí)，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，則n=k+1時(shí)，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，此命題正確．
故答案為 4