已知正四面體ABCD中，棱長為a，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求：
（1）直線AM和CN所成角；
（2）直線AM和平面BCD所成角．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（1）取DM中點(diǎn)O，連結(jié)CO，MO，由勾股定理得CN=AM=
3
2
a，MO=NO=
1
2
AM=
3
4
a，CO=
CM2+MO2
=
7
4
a，由此利用余弦定理能求出直線AM和CN所成角．
（2）作AP⊥平面BDC，交DM于點(diǎn)P，則∠AMP是直線AM和平面BCD所成角，由此能求出直線AM和平面BCD所成角．
解答： 解：（1）∵正四面體ABCD中，棱長為a，
M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，
取DM中點(diǎn)O，連結(jié)CO，MO，
∴CN=AM=
3
2
a，MO=NO=
1
2
AM=
3
4
a，
CO=
CM2+MO2
=
7
4
a，
設(shè)直線AM和CN所成角為α，
cosα=
CN2+NO2-CO2
2×CN×NO

=
3
4
a2+
3
16
a2-
7
16
a2
3
4
a2
=
2
3
，
∴α=arccos
2
3
．
∴直線AM和CN所成角為arccos
2
3
．
（2）作AP⊥平面BDC，交DM于點(diǎn)P，
則∠AMP是直線AM和平面BCD所成角，
∵DM=AM=
3
2
a，PM=
1
3
DM=
3
6
a，
∴cos∠AMP=
PM
AM
=
1
3
，
∴∠AMP=arccos
1
3
．
∴直線AM和平面BCD所成角為arccos
1
3
．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足Sn+an+n=0，數(shù)列{bn}滿足bn=an+1．
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}前n項和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)
2i
1+i
-|2i|對應(yīng)的點(diǎn)位于
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對?n∈N*，13+23+…+（n-1）3＜n4•S＜13+23+…+n3恒成立，則S=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交于拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線距離為6，則線段AB的長為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

5個人負(fù)責(zé)一個社團(tuán)的周一至周五的值班工作，每人1天，若甲同學(xué)不值周一，乙同學(xué)不值周五，且甲，乙不相鄰的概率是
 
？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某種出租車購買時費(fèi)用為12.2萬元．若按平均每年出租可以賺10萬，但其中每年應(yīng)交付保險費(fèi)及汽油費(fèi)共2萬元；汽車的維修費(fèi)第一年為2千元，以后每年都比上一年增加4千元．
（1）設(shè)使用n年該車的總利潤（包括購車費(fèi)用）為sn，試寫出sn的表達(dá)式；
（2）求這種汽車使用多少年報廢合算（利潤3萬以上）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的扇形，其面積是2π，則該圓錐的體積為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}（n∈N*，1≤n≤46）滿足a1=a，an+1-an=
d，1≤n≤15
1，16≤n≤30
1
d
，31≤n≤45
其中d≠0，n∈N*．
（1）當(dāng)a=1時，求a46關(guān)于d的表達(dá)式，并求a46的取值范圍；
（2）設(shè)集合M={b|b=ai+aj+ak，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．
①若a=
1
3
，d=
1
4
，求證：2∈M；
②是否存在實數(shù)a，d，使
1
8
，1，
53
40
都屬于M？若存在，請求出實數(shù)a，d；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案