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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，且過點（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A、B，若E(-
2
，0)，D(
2
，0)，求證：直線EA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）若直線l經過橢圓C的左焦點交橢圓C于P、Q兩點，O為坐標原點，且
OP
•
OQ
=-
1
3
，求直線l的方程．
分析：（1）利用橢圓的標準方程、離心率及參數a、b、c的關系即可得出；
（2）利用直線的點斜式、點在圓錐曲線上滿足的條件及雙曲線的意義即可證明；
（3）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數的關系并利用已知條件即可得出．
解答：解：（1）依題意有：b=1，
c
a
=
2
2
，又a2=c2+1，
解得：a=2，c=1，
故橢圓C的方程為：
x2
2
+y2=1．
（2）依題意可設A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y）．且有
t2
2
+y02=1，
又EA：y=
y0
t+
2
(x+
2
)，DB：y=
-y0
t-
2
(x-
2
)，
∴y2=
-y02
t2-2
(x2-2)，由
t2
2
+y02=1得：y02=
1
2
(2-t2)
代入即得y2=
1
2
(x2-2)，即為：
x2
2
-y2=1，
所以直線EA與直線BD的交點K必在雙曲線
x2
2
-y2=1上．
（3）（A）當直線l的斜率不存在時，P(-1，
1
2
)，Q(-1，-
1
2
)，此時
OP
•
OQ
=1-
1
2
=
1
2
，不滿足要求；
（B）當直線l的斜率存在時設為k，則直線l為：y=k（x+1），代入
x2
2
+y2=1得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
由
OP
•
OQ
=-
1
3
得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-
1
3
，
即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-
1
3
；
則：(1+k2)
2k2-2
1+2k2
+k2
-4k2
1+2k2
+k2=-
1
3
；
解得：k2=1⇒k=±1；
直線l過橢圓C的左焦點，故恒有兩個交點，則k=±1滿足要求，
故直線l的方程為：y=x+1或y=-x-1．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及性質、直線的點斜式、點在圓錐曲線上滿足的條件、直線與橢圓相交問題的解法、根與系數的關系是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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