Question

17．已知圓C：（x-3）²+y²=4，過(guò)原點(diǎn)的直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的特殊性，設(shè)圓心為C，則有CM⊥AB，當(dāng)斜率存在時(shí)，k_CMk_AB=-1，斜率不存在時(shí)加以驗(yàn)證．

解答 解：設(shè)圓x²+y²-6x+5=0的圓心為C，則C的坐標(biāo)是（3，0），由題意，CM⊥AB，
①設(shè)M（x，y），當(dāng)直線CM與AB的斜率都存在時(shí)，即x≠3，x≠0時(shí)，則有k_CMk_AB=-1，
∴$\frac{y}{x-3}$×$\frac{y}{x}$=-1（x≠3，x≠0），
化簡(jiǎn)得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②當(dāng)x=3時(shí)，y=0，點(diǎn)（3，0）適合題意，
③當(dāng)x=0時(shí)，y=0，點(diǎn)（0，0）不適合題意，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-3x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{5}{3}$，y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．
故答案為：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡方程的求解，應(yīng)注意利用圓的特殊性，同時(shí)注意所求軌跡的純粹性，避免增解．