已知直線l：y=x+1與橢圓3x2+y2=2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）如果直線l向下平移1個(gè)單位得到直線m，試求橢圓截直線m所得線段的長(zhǎng)度．
【答案】分析：（1）由解得．由此能夠證明OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個(gè)單位得到直線m：y=x，聯(lián)立得到解得  或，由此能求出截得的線段長(zhǎng)．
解答：解：（1）證明：直線l：y=x+1與橢圓3x2+y2=2相交于A，B兩點(diǎn)，
得，
消去y得4x2+2x-1=0，
解得，
所以．
所以
∴，
∴OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個(gè)單位得到直線m：y=x，
聯(lián)立得到，
解得或，
所以截得的線段長(zhǎng)為2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=x+k經(jīng)過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦點(diǎn)F2，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，試求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=x+1和圓C：x2+y2=
12
，則直線l與圓C的位置關(guān)系為
相切
相切
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為（
2
3
， 
1
3
)．
（1）求此橢圓的離心率．
（2）若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l：y=-x+1的對(duì)稱點(diǎn)在圓x2+y2=5上，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•菏澤一模）已知直線l：y=x+
6
，圓O：x2+y2=5，橢圓E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
3
．直線l截圓O所得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線．若切線都存在斜率，求證這兩條切線互相垂直．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=x+2，與拋物線x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（xC，0）．
（1）求證：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)（如圖1所示），嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
與
1
xC
的結(jié)果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明嗎？精英家教網(wǎng)

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