已知tanθ和tan（
π
4
-θ）是關于x的一元二次方程x2-kx+2k-5=0的兩個根，其中θ∈（0，
π
2
）．
（1）求k的值及方程的兩個根；
（2）求
5sin2
θ
2
+8sin
θ
2
•cos
θ
2
+11cos2
θ
2
-8
2
sin(θ-
π
4
)
的值．
考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用,兩角和與差的正切函數(shù)
專題：計算題,三角函數(shù)的求值
分析：（1）利用韋達定理，結(jié)合tan
π
4
=tan[θ+（
π
4
-θ）]，求k的值及方程的兩個根；
（2）先求出tanθ=1+
2
，再化簡，即可求值．
解答： 解：（1）∵tanθ和tan（
π
4
-θ）是關于x的一元二次方程x2-kx+2k-5=0的兩個根，
∴tanθ+tan（
π
4
-θ）=k，tanθtan（
π
4
-θ）=2k-5，
∴tan
π
4
=tan[θ+（
π
4
-θ）]=
k
1-(2k-5)
=1，
∴k=2，
∴方程x2-kx+2k-5=0的兩個根為x=1±
2
；
（2）∵θ∈（0，
π
2
），
∴tanθ＞0，tanθ=1+
2
，
∴
5sin2
θ
2
+8sin
θ
2
•cos
θ
2
+11cos2
θ
2
-8
2
sin(θ-
π
4
)
=
4sinθ+3cosθ
sinθ-cosθ
=
4tanθ+3
tanθ-1
=4+
7
2
2
點評：本題考查韋達定理，和角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長度為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足
BP
=2
PA

（1）求點P的軌跡方程；
（2）記點P的軌跡為曲線C，斜率為1的直線?交曲線C于E，F(xiàn)兩點，線段EF的垂直平分線通過點Q（x0，0），求△QEF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}共有2k項（2≤k∈N*），數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，滿足a1=2，an+1=（p-1）Sn+2（n=1，2，3，…，2n-1），其中常數(shù)p＞1
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）若p=2 
2
2k-1
，數(shù)列{bn}滿足bn=
1
n
log2（a1a2…an）（n=1，2，…，2n），求數(shù)列{bn}的通項公式
（3）對于（2）中的數(shù)列{bn}，記cn=|bn-
3
2
|，求數(shù)列{cn}的前2k項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=（ax2+ax+1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）內(nèi)存在極值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=（-2，m），
x
=
a
+（t2+1）
b
，
y
=-k
a
+
1
t
b
m∈R，k，t為正實數(shù)．
（Ⅰ）若
a
∥
b
，求m的值；
（Ⅱ）若
a
⊥
b
，求m的值；
（Ⅲ）當m=1時，若
x
⊥
y
，試確定k與t的關系式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對某班一次測驗成績進行統(tǒng)計，如下表所示：
分數(shù)段100～9190～8180～7170～6160～5150～41
概率0.160.250.360.170.040.02
（1）求該班成績在[81，100]內(nèi)的概率；
（2）求該班成績在[61，100]內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A⊆B，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
．
（1）求橢圓C的方程； 
（2）若直線L過圓（x+2）2+（y-1）2=5的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對任意實數(shù)x，記x=[x]+（x），其中[x]是整數(shù)，0≤（x）＜1．設集合A={x|x2-[x]=1}，B={x|
1
4
≤2x≤8}，則A∩B=
 
．

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