Question

19．設(shè)f（x）=|2x|+|x+a|
（I）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≤4的解集；
（II）當(dāng)f（x）=|x-a|時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x（{x≤0}）\\ x+1（{0＜x≤1}）\\ 3x-1（{x＞1}）\end{array}\right.$，即可求不等式f（x）≤4的解集；
（II）當(dāng)f（x）=|x-a|時(shí)，可得2x（x+a）≤0，分類討論，求x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x（{x≤0}）\\ x+1（{0＜x≤1}）\\ 3x-1（{x＞1}）\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）≤4得-1≤x≤0；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，由f（x）≤4得0＜x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，由f（x）≤4得$1＜x≤\frac{5}{3}$；
綜上所述，當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）≤4的解集為$[{-1，\frac{5}{3}}]$；             …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|2x|+|x+a|≥|2x-（x+a）|=|x-a|，∴2x（x+a）≤0，
當(dāng)a=0時(shí)，x=0；
當(dāng)a＞0時(shí)，-a≤x≤0；
當(dāng)a＜0時(shí)，0≤x≤-a．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．