Question

（2012•許昌三模）已知a＞0，且a≠1，函數(shù)y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A的直線l₁與過點(diǎn)B的直線l₂垂直相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程是

x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

．

Answer 1

分析：由y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點(diǎn)A，B，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出A和B的坐標(biāo)，若過點(diǎn)A的直線l₁的斜率為k（k存在且不為0），利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1表示出過點(diǎn)B的直線l₂的斜率，進(jìn)而表示出兩直線方程，聯(lián)立兩方程，消去k，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；若過點(diǎn)A的直線l₁的斜率不存在，求出此時(shí)Q的坐標(biāo)為（1，0），代入y與x的關(guān)系式滿足，綜上得到點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：由函數(shù)y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點(diǎn)A，B，
可得A（1，1），B（0，0），
若過點(diǎn)A的直線l₁的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），直線l₂垂直的斜率為-

1

k

，
可得直線l₁的解析式為：y-1=k（x-1），直線l₂解析式為：y=-

1

k

x，
聯(lián)立兩解析式，解得：

x= k2-k k2+1 y= 1-k2 k2+1

，
消去k得到x²-x+y²-y=0；
若過點(diǎn)A的直線l₁的斜率不存在，此時(shí)Q（1，0），代入滿足x²-x+y²-y=0，
綜上，點(diǎn)Q的軌跡方程為x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

．
故答案為：x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

點(diǎn)評：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)，兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，以及直線的點(diǎn)斜式方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．