Question

設函數(shù)f（x）=（x²-3x+1）e^x
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值
（2）直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點，求m的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，令f′（x）=0，得x=-1或x=2，列表討論，能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當x＜0時，f（x）＞0，由此能求出當0＜m＜

5

e

時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²-3x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，（2分）
由f′（x）=0，得x=-1或x=2，
列表討論，得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（-x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

（4分）
f（x）_極大=f（-1）=

5

e

，f（x）_極小=f（2）=-e²．（6分）
（2）當x＜0時，f（x）＞0，
x→-∞時，f（x）→0；x→+∞時，f（x）→+∞．
∴當0＜m＜

5

e

時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點．（9分）

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．