Question

（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的前n項和為且方程有一根為，n=1,2,3…,試求的值，猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明

 

Answer 1

【答案】

由，

當n=2時，由①得 ，

當n=3時，由①得  ，

猜想  n=1,2,3… 證明見解析。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的前n項和的表達式的求解和證明的綜合運用。

（1）根據(jù)已知條件，對n令值，得到前幾項的和，然后歸納猜想。

（2）運用數(shù)學歸納法加以證明，分為兩步驟，注意要用到假設(shè)。

證明：              

當n=1時，  

當n≥2時，，

 代入（*）式得①            ……（3分）

當n=2時，由①得    ……（4分）

當n=3時，由①得    ……（5分）

可以看到上面表示的三個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)一致，分母是項數(shù)加1，

由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）

下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：

（1）當n=1時已知猜想成立                        ……（7分）

（2）假設(shè)n=k時猜想成立，即

則當n=k+1時，由①得

這就是說，當n=k+1時，猜想也成立             ……（10分）

根據(jù)（1）和（2），可知對所有正整數(shù)n都成立  ……（12分）