Question

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a²+b²+c²=ac+bc+ca．
（1）證明：△ABC是正三角形；
（2）如圖，點D的邊BC的延長線上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用配方法可得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，從而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．
（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD=$\frac{BD•sinB}{AD}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）證明：由a²+b²+c²=ac+bc+ca，
得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，…（3分）
所以a-b=b-c=c-a=0，
所以a=b=c，…（4分）
即△ABC是正三角形…（5分）
（2）因為△ABC是等邊三角形，BC=2CD，
所以AC=2CD，∠ACD=120°，…（7分）
所以在△ACD中，由余弦定理可得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcos∠ACD，
可得：7=4CD²+CD²-4CD•CDcos120°，解得CD=1，…（9分）
在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD=$\frac{BD•sinB}{AD}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和配方法的應用，屬于中檔題．