如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD，
（Ⅰ）求異面直接PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大��；
（Ⅲ）設(shè)點M在棱PC上，且=λ，問λ為何值時，PC⊥平面BMD。
解：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD，
又，
由平面幾何知識得：，
（Ⅰ）過D作DE∥BC交AB于E，連結(jié)PE，
則∠PDE或其補角為異面直線PD與BC所成的角，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴，
∴，
又AB∥DC，
∴四邊形EBCD是平行四邊形。
∴，
∴E是AB的中點，且，
又，
∴△PEA為直角三角形，
∴，
在△PED中，由余弦定理得
，
故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為。
（Ⅱ）連結(jié)OE，由（Ⅰ）及三垂線定理知，
∠PEO為二面角P-AB-C的平面角，
∴，
∴，
∴二面角P-AB-C的大小為45°。
（Ⅲ）連結(jié)MD，MB，MO，
平面平面BMD，
∵PC⊥OM，
又在Rt△POC中，，
∴，
∴，
故λ=2時，PC⊥平面BMD。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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