Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a²_n成等差數(shù)列，又記b_n=

1

a2n+1•a2n+3

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（　�。�

• A、

  6n

  n+9

• B、

  n

  9n+6

• C、

  n

  6n+9

• D、

  n

  n+6

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得2a_n=a_n-a_n-1+an2-an-12，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，得a_n-a_n-1=1，由此能求出a_n=n．
b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），由此利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：由已知得2S_n=a_n+a_n²，①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1+

a

2 n-1

，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+

a

2 n

-

a

2 n-1

，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1時(shí)，2a₁=a₁+

a

2 1

，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=n．
∴b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）．
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

3(2n+3)

=

n

6n+9

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)相消法的合理運(yùn)用．