Question

已知點(diǎn)A（-1，O），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ，|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3．
（I）求曲線C的方程；
（II）試探究曲線C上是否存在點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，根據(jù)余弦定理，及|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，可得|

AM

|+|

BM

|=4，從而可得點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)M在x軸上也符合題意），由此可得曲線C的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C是橢圓，它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），利用直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1可得方程，根據(jù)雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，結(jié)合橢圓和雙曲線的對(duì)稱性可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
根據(jù)余弦定理得|

AM

|2+|

BM

|2-2|

AM

|•|

BM

|cos2θ=4．…（2分）
即(|

AM

|+|

BM

|)2-2|

AM

|•|

BM

|(1+cos2θ)=4(|

AM

|+|

BM

|)2-4|

AM

|•|

BM

|cosθ=4．
而|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，所以(|

AM

|+|

BM

|2)-4×3=4．
所以|

AM

|+|

BM

|=4…（5分）
又|

AM

|+|

BM

|=4＞2=|AB|
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)M在x軸上也符合題意），所以a=2，c=1．
所以曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C是橢圓，它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），
設(shè)P（x，y）是橢圓上的點(diǎn)，
∵k_PA•k_PB=1，∴

y

x+1

•

y

x-1

=1(x≠±1)，
∴x²-y²=1（x≠±1），…（11分）
這是實(shí)軸在x軸，頂點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線，它與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
由于雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱性可知，它們必有四個(gè)交點(diǎn)．
即圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓與雙曲線的對(duì)稱性，正確運(yùn)用向量知識(shí)是關(guān)鍵．