Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx，x∈R．
（1）若方程f（x）=2m-3有實數(shù)解，求m的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的值域求出f（x）的值域，由條件列出不等式，求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間和整體思想求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得，
f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx=$2sin（πx+\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的值域是[-2，2]，
∵方程f（x）=2m-3有實數(shù)解，
∴-2≤2m-3≤2，解得；$\frac{1}{2}≤m≤\frac{5}{2}$，
∴m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤πx+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{2}{3}+2k≤x≤\frac{1}{3}+2k（k∈Z）$，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{2}{3}+2k，\frac{1}{3}+2k]（k∈Z）$．

點評 本題考查了兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡、變形能力．