Question

若(x2-

1

ax

)9(a∈R)的展開(kāi)式中x⁹的系數(shù)是-

21

2

．
（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求

∫

a 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx的值．

Answer 1

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于9，求得r的值，可得展開(kāi)式中x⁹的項(xiàng)．再根據(jù)此項(xiàng)的系數(shù)是-

21

2

，可得a的值．再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．
（2）原式=

∫

2 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx=

∫

2 0

(sinx+1-cosx)dx，再利用定積分公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）通項(xiàng)公式為 Tr+1=C9r(x2)9-r(-

1

ax

)r=(-

1

a

)rC9rx18-3r，令18-3r=9，∴r=3，∴含x⁹的項(xiàng)的系數(shù)為 (-

1

a

)3C93=-

21

2

，∴a=2．…（4分）
再令18-3r=0，可得t=6，因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T7=

21

16

．…（6分）
（2）原式=

∫

2 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx=

∫

2 0

(sinx+1-cosx)dx=(-cosx+x-sinx)

|

2 0

=3-sin2-cos2．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，求定積分，屬于中檔題．