Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x），x∈[0，π]單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期和最小值．
（2）最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；x∈[0，π]時，

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∴f（x）的最小值為-2，最小正周期為π．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$．
∴$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ，k∈Z$
∴$f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[{\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ}]，k∈Z$．
又∵x∈[0，π]，取交集可得$x∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，π]單調(diào)遞減區(qū)間是$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．