Question

如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=

2

a，DF=

2 a

2

．
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大��；
（Ⅲ）點P是線段EB上的動點，當(dāng)∠APF為直角時，求BP 的長度．

Answer 1

分析：（I）由圖形知，連接OF，證明EF⊥FB可通過證明FB⊥平面EOF，利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直；
（II）法一：由于平面EAD⊥平面ABCD，過點E向AD引垂線交AD于點O，連接OB，OF，延長DF到點C，使CD=AB，可證得∠EFO為二面角A-BF-E的平面角，在Rt△EOF中，求出此角；
法二：取AD的中點O，連接OE，則EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，給出圖形中各點的用a表示的坐標(biāo)，求出兩平面EFB的法向量與平面ABCD的一個法向量，再由向量求夾角公式求出兩平面的夾角；
（Ⅲ）由（II）中的法二，利用向量求解，可設(shè)

PB

=t

EB

，（0≤t≤1）用引入的參數(shù)t表示出

PA

，

PF

的坐標(biāo)，再由兩向量垂直的條件建立關(guān)于t的方程，求出t的值即可得到符合條件的點P的位置，從而求BP 的長度

解答：解：（I）證明：連接OF，則OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

9

4

a2，
所以O(shè)B²=OF²+FB²，即OF⊥FB．
又因為EO⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）
方法一
（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，過點E向AD引垂線交AD于點O，連接OB，OF，延長DF到點C，使CD=AB，
則OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

1

4

a2+2a2=

9

4

a2，
所以O(shè)B²=OF²+FB²，即∠EFO為二面角A-BF-E的平面角，
在Rt△EOF中，EO=OF，所以∠OFE=

π

4

．    （6分）
方法二：（II ）取AD的中點O，連接OE，則EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，
則AB=

2

a，則EO=

3

2

a，
則A(

a

2

，0，0)，B(

a

2

，

2

a，0)，E(0，0，

3

2

a)，F(xiàn)(-

a

2

，

2

2

a，0)，
所以

EF

=(-

a

2

，

2

2

a，

3

2

a)，

EB

=(

a

2

，

2

a，-

3

2

a)，
可求得平面EFB的法向量為

n

=(-

3

3

，

6

3

，1)，
平面ABCD的一個法向量為

m

=(0，0，1)，
則二面角A-BF-E的大小為θ，cosθ=

2

2

，即二面角為

π

4

．          （6分）
（Ⅲ）設(shè)

PB

=t

EB

，（0≤t≤1）則

PA

=

PB

+

BA

=t

EB

+

BA

=t(

a

2

，

2

a，-

3

2

a)+(0，-

2

a，0)=a(

t

2

，

2

(t-1)，-

3

2

t)，同理，

PF

=a((

t

2

-1)，

2

(t-

1

2

)，-

3

2

t)，（8分）

PA

•

PF

=a2[

t

2

(

t

2

-1)+2(t-1)(t-

1

2

)+

3

4

t2]=a2(3t2-

7

2

t+1)，
由3t2-

7

2

t+1=0，解得t=

1

2

或

2

3

，
所以BP=

3

2

a或

2 3

3

a．（10分）

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關(guān)系的對應(yīng)，如數(shù)量積為0與垂直的對應(yīng)，向量的共線與平行的對應(yīng)，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應(yīng)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了待定系數(shù)建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強(qiáng)，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉(zhuǎn)化的能力，本題運算量大，且多是符號運算，解題時要嚴(yán)謹(jǐn)