已知在數(shù)列{an}中,(t>0且t≠1).是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).

(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)記,當(dāng)t=2時(shí),數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn>2012的n的最小值;

(3)當(dāng)t=2時(shí),是否存在指數(shù)函數(shù)gx),使得對(duì)于任意的正整數(shù)n成立?若存在,求出滿足條件的一個(gè)gx);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

【答案】

(1);(2)1005;(3)見(jiàn)解析.

【解析】(1)先求出,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922221987586722/SYS201206192224171726602206_DA.files/image003.png">可以整理得,又,求得數(shù)列 是首項(xiàng)為,公比為t的等比數(shù)列,利用累加法求出;(2)由(1)和t=2,,得,分組求和得,得n的最小值為1005.(3)先對(duì)變形找到滿足條件的指數(shù)函數(shù),再裂項(xiàng)求和證明函數(shù)滿足條件..

解:(1)

由題意,即.         …………1分

,∴數(shù)列是以為首項(xiàng),t為公比的等比數(shù)列,

                                                                                                                …………2分

以上各式兩邊分別相加得,∴,

當(dāng)時(shí),上式也成立,∴                                                         …………5分

   (2)當(dāng)t=2時(shí),

                                                         …………7分

                                                                                                               

,得,

,                                                                                   …………8分

當(dāng)

因此n的最小值為1005.                                                                         …………10分

   (3)∵

,則有:

                                                                                                                …………13分

即函數(shù)滿足條件.,.

 

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1
2
)

(Ⅰ) 求Sn的表達(dá)式;
(Ⅱ) 設(shè)bn=
Sn
2n+1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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7anan+7
,計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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已知在數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn是其前n項(xiàng)和,且Sn=n2an-n(n-1).
(1)證明:數(shù)列{
n+1
n
Sn}
是等差數(shù)列;
(2)令bn=(n+1)(1-an),記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn
①求證:當(dāng)n≥2時(shí),Tn2>2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)
;
②)求證:當(dāng)n≥2時(shí),bn+1+bn+2+…+b2n
4
5
-
1
2n+1

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